MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciNumere ComplexeDeterminanți
Fie matricea M=(i1−1i)M = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{pmatrix}, unde ii este unitatea imaginară, i2=−1i^2 = -1. a) Calculați M2M^2 și determinantul det⁡(M)\det(M). b) Verificați că M2=2iMM^2 = 2i M. c) Determinați toate numerele complexe zz pentru care det⁡(M−zI2)=0\det(M - z I_2) = 0, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm M2=(i1−1i)⋅(i1−1i)=(i⋅i+1⋅(−1)i⋅1+1⋅i(−1)⋅i+i⋅(−1)(−1)⋅1+i⋅i)=(i2−1i+i−i−i−1+i2)=(−22i−2i−2)M^2 = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \cdot i + 1 \cdot (-1) & i \cdot 1 + 1 \cdot i \\ (-1) \cdot i + i \cdot (-1) & (-1) \cdot 1 + i \cdot i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i^2 - 1 & i + i \\ -i - i & -1 + i^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2i \\ -2i & -2 \end{pmatrix}. Determinantul: det⁡(M)=i⋅i−1⋅(−1)=i2+1=−1+1=0\det(M) = i \cdot i - 1 \cdot (-1) = i^2 + 1 = -1 + 1 = 0.
23 puncte
Calculăm 2iM=2i(i1−1i)=(2i⋅i2i⋅12i⋅(−1)2i⋅i)=(2i22i−2i2i2)=(−22i−2i−2)2i M = 2i \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2i \cdot i & 2i \cdot 1 \\ 2i \cdot (-1) & 2i \cdot i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2i^2 & 2i \\ -2i & 2i^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2i \\ -2i & -2 \end{pmatrix}. Comparând cu M2M^2 de la pasul 1, avem M2=2iMM^2 = 2i M.
33 puncte
Calculăm M−zI2=(i−z1−1i−z)M - z I_2 = \begin{pmatrix} i - z & 1 \\ -1 & i - z \end{pmatrix}. Atunci det⁡(M−zI2)=(i−z)2−1⋅(−1)=(i−z)2+1\det(M - z I_2) = (i-z)^2 - 1 \cdot (-1) = (i-z)^2 + 1. Punem condiția ca determinantul să fie zero: (i−z)2+1=0⇒(i−z)2=−1(i-z)^2 + 1 = 0 \Rightarrow (i-z)^2 = -1. Notăm w=i−zw = i - z, deci w2=−1⇒w=±iw^2 = -1 \Rightarrow w = \pm i. Rezultă i−z=ii - z = i sau i−z=−ii - z = -i. Dacă i−z=ii - z = i, atunci z=0z = 0. Dacă i−z=−ii - z = -i, atunci z=2iz = 2i. Valorile lui zz sunt z1=0z_1 = 0 și z2=2iz_2 = 2i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.