MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(1201)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Determinați matricea BB de ordinul 2 cu elemente reale astfel încât AB=BAAB = BA și det⁡(A+B)=3\det(A+B) = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Considerați B=(abcd)B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} și scrieți condiția AB=BAAB = BA, adică (1201)(abcd)=(abcd)(1201)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Calculați produsele: AB=(a+2cb+2dcd)AB = \begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\ c & d \end{pmatrix} și BA=(a2a+bc2c+d)BA = \begin{pmatrix} a & 2a+b \\ c & 2c+d \end{pmatrix}. Egalând, obțineți sistemul: a+2c=aa+2c = a, b+2d=2a+bb+2d = 2a+b, c=cc = c, d=2c+dd = 2c+d. Rezultă c=0c=0 și d=ad=a.
23 puncte
Din c=0c=0 și d=ad=a, matricea BB are forma B=(ab0a)B = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}.
32 puncte
Calculați A+B=(1+a2+b01+a)A+B = \begin{pmatrix} 1+a & 2+b \\ 0 & 1+a \end{pmatrix} și det⁡(A+B)=(1+a)2−0⋅(2+b)=(1+a)2\det(A+B) = (1+a)^2 - 0 \cdot (2+b) = (1+a)^2.
42 puncte
Impuneți det⁡(A+B)=3\det(A+B) = 3, deci (1+a)2=3(1+a)^2 = 3, de unde 1+a=±31+a = \pm\sqrt{3}, adică a=−1±3a = -1 \pm \sqrt{3}. Matricea BB este B=(−1±3b0−1±3)B = \begin{pmatrix} -1 \pm \sqrt{3} & b \\ 0 & -1 \pm \sqrt{3} \end{pmatrix} cu b∈Rb \in \mathbb{R} arbitrar.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.