MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: log⁡12(sin⁡x)+log⁡12(cos⁡x)=2\log_{\frac{1}{2}}(\sin x) + \log_{\frac{1}{2}}(\cos x) = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: sin⁡x>0\sin x > 0 și cos⁡x>0\cos x > 0, deci x∈⋃k∈Z(2kπ,π2+2kπ)x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi).
22 puncte
Aplicarea proprietăților logaritmilor: log⁡12(sin⁡xcos⁡x)=2\log_{\frac{1}{2}}(\sin x \cos x) = 2, deci sin⁡xcos⁡x=(12)2=14\sin x \cos x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.
33 puncte
Folosind identitatea sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x, se obține sin⁡2x=12\sin 2x = \frac{1}{2}. Rezolvând: 2x=π6+2kπ2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi sau 2x=5π6+2kπ2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}, deci x=π12+kπx = \frac{\pi}{12} + k\pi sau x=5π12+kπx = \frac{5\pi}{12} + k\pi.
43 puncte
Selectarea soluțiilor conform domeniului: pentru x=π12+kπx = \frac{\pi}{12} + k\pi, condițiile sin⁡x>0\sin x > 0 și cos⁡x>0\cos x > 0 sunt satisfăcute doar pentru kk par, adică k=2nk=2n, deci x=π12+2nπx = \frac{\pi}{12} + 2n\pi. Similar, pentru x=5π12+kπx = \frac{5\pi}{12} + k\pi, doar pentru k=2nk=2n se obține x=5π12+2nπx = \frac{5\pi}{12} + 2n\pi. Astfel, soluțiile sunt x=π12+2nπx = \frac{\pi}{12} + 2n\pi și x=5π12+2nπx = \frac{5\pi}{12} + 2n\pi, n∈Zn \in \mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.