MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrie
Calculați integrala definită ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se notează I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx și se aplică proprietatea ∫0af(x) dx=∫0af(a−x) dx\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx pentru a obține I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.
23 puncte
Se adună cele două expresii pentru II: 2I=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2x dx2I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx, deci I=π2∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dxI = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.
33 puncte
Se efectuează substituția u=cos⁡xu = \cos x, du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx, și se calculează: ∫sin⁡x1+cos⁡2x dx=−∫du1+u2=−arctan⁡u+C\int \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = -\int \frac{du}{1+u^2} = -\arctan u + C. Apoi, I=π2[−arctan⁡(cos⁡x)]0π=π2(−arctan⁡(−1)+arctan⁡(1))=π2(π4+π4)=π24I = \frac{\pi}{2} \left[-\arctan(\cos x)\right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} \left(-\arctan(-1) + \arctan(1)\right) = \frac{\pi}{2} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.