MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul ABC, se cunosc lungimile laturilor a=7a = 7, b=5b = 5 și cos⁡C=17\cos C = \frac{1}{7}. Să se calculeze lungimea laturii cc, sinusurile unghiurilor AA și BB, și aria triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm teorema cosinusului: c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C. Substituim: c2=72+52−2⋅7⋅5⋅17=49+25−10=64c^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{1}{7} = 49 + 25 - 10 = 64, deci c=8c = 8.
23 puncte
Calculăm sin⁡C\sin C folosind identitatea sin⁡2C+cos⁡2C=1\sin^2 C + \cos^2 C = 1. sin⁡C=1−(17)2=4849=437\sin C = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7} (pozitiv deoarece CC este unghi între 00 și π\pi).
32 puncte
Aplicăm teorema sinusurilor: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. Din 7sin⁡A=8437\frac{7}{\sin A} = \frac{8}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}, obținem sin⁡A=7⋅4378=32\sin A = \frac{7 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
42 puncte
Din sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}, avem A=60∘A = 60^\circ sau A=120∘A = 120^\circ; pentru a determina, calculăm sin⁡B\sin B: 5sin⁡B=8437\frac{5}{\sin B} = \frac{8}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}, deci sin⁡B=5⋅4378=5314\sin B = \frac{5 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}}{8} = \frac{5\sqrt{3}}{14}. Aria triunghiului: S=absin⁡C2=7⋅5⋅4372=103S = \frac{ab \sin C}{2} = \frac{7 \cdot 5 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}}{2} = 10\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.