MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmi
Fie (an)(a_n) o progresie geometrică cu termeni pozitivi. Dacă log⁡10a1+log⁡10a2+…+log⁡10a10=55\log_{10} a_1 + \log_{10} a_2 + \ldots + \log_{10} a_{10} = 55 și a5=104a_5 = 10^4, aflați a1a_1 și rația qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Suma logaritmilor este log⁡10(a1a2…a10)=55\log_{10}(a_1 a_2 \ldots a_{10}) = 55. Folosind proprietățile logaritmilor, avem log⁡10(a1a2…a10)=log⁡10(a110q0+1+…+9)=log⁡10(a110q45)\log_{10}(a_1 a_2 \ldots a_{10}) = \log_{10}(a_1^{10} q^{0+1+\ldots+9}) = \log_{10}(a_1^{10} q^{45}).
24 puncte
Din condiția dată, log⁡10(a110q45)=55\log_{10}(a_1^{10} q^{45}) = 55, deci a110q45=1055a_1^{10} q^{45} = 10^{55}. De asemenea, din a5=a1q4=104a_5 = a_1 q^4 = 10^4. Rezolvăm sistemul: a1q4=104a_1 q^4 = 10^4 și a110q45=1055a_1^{10} q^{45} = 10^{55}.
33 puncte
Împărțim a doua ecuație la prima ridicată la puterea potrivită: din a1q4=104a_1 q^4 = 10^4, avem a1=104q−4a_1 = 10^4 q^{-4}. Înlocuim în a110q45=1055a_1^{10} q^{45} = 10^{55} și obținem (104q−4)10q45=1055(10^4 q^{-4})^{10} q^{45} = 10^{55}, adică 1040q−40q45=105510^{40} q^{-40} q^{45} = 10^{55}, deci 1040q5=105510^{40} q^{5} = 10^{55}, de unde q5=1015q^{5} = 10^{15}, deci q=103=1000q = 10^{3} = 1000. Atunci a1=104q−4=104⋅10−12=10−8a_1 = 10^4 q^{-4} = 10^4 \cdot 10^{-12} = 10^{-8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.