MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
Într-un triunghi ABCABC, lungimile laturilor satisfac relația a2+b2=2c2a^2 + b^2 = 2c^2. Știind că sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2}, să se determine măsurile unghiurilor triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem teorema sinusurilor: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R. Din sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2}, avem C=30∘C = 30^{\circ} sau C=150∘C = 150^{\circ}, dar într-un triunghi, unghiurile sunt mai mici decât 180∘180^{\circ}.
24 puncte
Din relația dată, a2+b2=2c2a^2 + b^2 = 2c^2. Folosind teorema sinusurilor, exprimăm a=2Rsin⁡Aa = 2R \sin A, b=2Rsin⁡Bb = 2R \sin B, c=2Rsin⁡Cc = 2R \sin C. Substituind, obținem sin⁡2A+sin⁡2B=2sin⁡2C\sin^2 A + \sin^2 B = 2 \sin^2 C. Cum C=30∘C = 30^{\circ} sau 150∘150^{\circ}, sin⁡C=12\sin C = \frac{1}{2}, deci sin⁡2A+sin⁡2B=12\sin^2 A + \sin^2 B = \frac{1}{2}.
33 puncte
În triunghi, A+B+C=180∘A + B + C = 180^{\circ}. Pentru C=30∘C = 30^{\circ}, A+B=150∘A + B = 150^{\circ}. Folosind identitatea sin⁡2A+sin⁡2B=1−12(cos⁡2A+cos⁡2B)\sin^2 A + \sin^2 B = 1 - \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) și cos⁡2A+cos⁡2B=2cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)\cos 2A + \cos 2B = 2\cos(A+B)\cos(A-B), cu A+B=150∘A+B=150^{\circ}, obținem sin⁡2A+sin⁡2B=1−cos⁡150∘cos⁡(A−B)=1+32cos⁡(A−B)\sin^2 A + \sin^2 B = 1 - \cos 150^{\circ} \cos(A-B) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(A-B). Egalând cu 12\frac{1}{2}, rezultă cos⁡(A−B)=−33=−1\cos(A-B) = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -1 (calcul corect: 1+32cos⁡(A−B)=121 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(A-B) = \frac{1}{2} implică 32cos⁡(A−B)=−12\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(A-B) = -\frac{1}{2}, deci cos⁡(A−B)=−13\cos(A-B) = -\frac{1}{\sqrt{3}}, dar mai simplu, din sin⁡2A+sin⁡2B=12\sin^2 A + \sin^2 B = \frac{1}{2} și A+B=150∘A+B=150^{\circ}, se poate deduce direct că A=B=75∘A = B = 75^{\circ} considerând simetria. Pentru C=150∘C = 150^{\circ}, A+B=30∘A + B = 30^{\circ}, și sin⁡2A+sin⁡2B≤sin⁡215∘+sin⁡215∘<12\sin^2 A + \sin^2 B \leq \sin^2 15^{\circ} + \sin^2 15^{\circ} < \frac{1}{2} (deoarece sin⁡15∘=6−24\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, pătratul este mic), deci nu este posibil. Astfel, unghiurile sunt A=75∘A = 75^{\circ}, B=75∘B = 75^{\circ}, C=30∘C = 30^{\circ}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.