MediuNumere ComplexeClasa 12

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea G={a+bi∣a,b∈Z}G = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \}, unde ii este unitatea imaginară. Arătați că GG este un inel în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Este GG un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificați închiderea mulțimii GG față de adunare și înmulțire. Pentru orice z1=a1+b1iz_1 = a_1 + b_1 i și z2=a2+b2iz_2 = a_2 + b_2 i din GG, suma z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)iz_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i are coeficienți întregi, deci aparține lui GG. Produsul z1⋅z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)iz_1 \cdot z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i are de asemenea coeficienți întregi, deci aparține lui GG.
23 puncte
Demonstrați că adunarea este asociativă, comutativă, are element neutru 0=0+0i∈G0 = 0 + 0i \in G, și fiecare element are opus în GG. Înmulțirea este asociativă, distributivă față de adunare, și are element neutru 1=1+0i∈G1 = 1 + 0i \in G.
32 puncte
Observați că pentru un element z=a+bi∈Gz = a + bi \in G, inversul său multiplicativ este 1a+bi=a−bia2+b2\frac{1}{a+bi} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}, care nu aparține lui GG în general, deoarece coeficienții nu sunt întregi (de exemplu, pentru z=1+iz=1+i, inversul este 12−12i\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i, cu coeficienți raționali).
42 puncte
Concluzie: GG este un inel, dar nu este un corp deoarece nu toate elementele nenule au invers în GG.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.