MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieMatrici
Fie M2(R)M_2(\mathbb{R}) mulțimea matricelor pătrate de ordinul 2 cu elemente reale. Se definește operația ⊙\odot pe M2(R)M_2(\mathbb{R}) prin A⊙B=A+B−I2A \odot B = A + B - I_2, unde I2I_2 este matricea identitate. a) Verificați dacă ⊙\odot este comutativă și asociativă. b) Găsiți elementul neutru al acestei operații. c) Pentru o matrice A∈M2(R)A \in M_2(\mathbb{R}), determinați condiția necesară și suficientă pentru existența inversei A′A' astfel încât A⊙A′=EA \odot A' = E, cu EE elementul neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea comutativității: A⊙B=A+B−I2=B+A−I2=B⊙AA \odot B = A + B - I_2 = B + A - I_2 = B \odot A, deci operația este comutativă.
23 puncte
Verificarea asociativității: Calculăm (A⊙B)⊙C=(A+B−I2)⊙C=(A+B−I2)+C−I2=A+B+C−2I2(A \odot B) \odot C = (A + B - I_2) \odot C = (A + B - I_2) + C - I_2 = A + B + C - 2I_2 și A⊙(B⊙C)=A⊙(B+C−I2)=A+(B+C−I2)−I2=A+B+C−2I2A \odot (B \odot C) = A \odot (B + C - I_2) = A + (B + C - I_2) - I_2 = A + B + C - 2I_2. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Determinarea elementului neutru: Fie EE astfel încât A⊙E=AA \odot E = A pentru orice AA. Atunci A+E−I2=A⇒E−I2=0⇒E=I2A + E - I_2 = A \Rightarrow E - I_2 = 0 \Rightarrow E = I_2. Verificare: A⊙I2=A+I2−I2=AA \odot I_2 = A + I_2 - I_2 = A.
43 puncte
Pentru o matrice AA, inversul A′A' trebuie să satisfacă A⊙A′=I2A \odot A' = I_2. Rezultă A+A′−I2=I2⇒A′=2I2−AA + A' - I_2 = I_2 \Rightarrow A' = 2I_2 - A. Inversa există pentru orice A∈M2(R)A \in M_2(\mathbb{R}), deoarece 2I2−A2I_2 - A este întotdeauna o matrice din M2(R)M_2(\mathbb{R}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.