MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(1a201−1321)A = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Calculați determinantul matricei AA în funcție de aa. b) Determinați valorile reale ale lui aa pentru care matricea AA este inversabilă. c) Pentru a=2a = 2, rezolvați sistemul liniar A⋅(xyz)=(101)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm determinantul folosind regula lui Sarrus sau dezvoltare după o linie/coloană. det⁡(A)=1⋅∣1−121∣−a⋅∣0−131∣+2⋅∣0132∣=1⋅(1⋅1−(−1)⋅2)−a⋅(0⋅1−(−1)⋅3)+2⋅(0⋅2−1⋅3)=3−3a−6=−3−3a=−3(a+1)\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - a \cdot (0 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) + 2 \cdot (0 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = 3 - 3a - 6 = -3 - 3a = -3(a+1).
22 puncte
Matricea AA este inversabilă dacă și numai dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0. Din det⁡(A)=−3(a+1)≠0\det(A) = -3(a+1) \neq 0, obținem a≠−1a \neq -1. Deci AA este inversabilă pentru a∈R∖{−1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}.
35 puncte
Pentru a=2a=2, matricea devine A=(12201−1321)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}. Sistemul liniar este: {x+2y+2z=1y−z=03x+2y+z=1\begin{cases} x + 2y + 2z = 1 \\ y - z = 0 \\ 3x + 2y + z = 1 \end{cases}. Din a doua ecuație, y=zy = z. Înlocuim în prima: x+4z=1x + 4z = 1. Înlocuim în a treia: 3x+3z=13x + 3z = 1. Rezolvăm sistemul {x+4z=13x+3z=1\begin{cases} x + 4z = 1 \\ 3x + 3z = 1 \end{cases}. Din prima, x=1−4zx = 1 - 4z. Înlocuim în a doua: 3(1−4z)+3z=1⇒3−12z+3z=1⇒−9z=−2⇒z=293(1-4z) + 3z = 1 \Rightarrow 3 - 12z + 3z = 1 \Rightarrow -9z = -2 \Rightarrow z = \frac{2}{9}. Atunci x=1−4⋅29=19x = 1 - 4 \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{9} și y=z=29y = z = \frac{2}{9}. Soluția: x=19,y=29,z=29x = \frac{1}{9}, y = \frac{2}{9}, z = \frac{2}{9}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.