MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În triunghiul ABC, se cunosc laturile a=7, b=8, c=9. Să se determine măsurile unghiurilor triunghiului și raza cercului circumscris.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul unghiului A folosind teorema cosinusurilor. cos⁡A=b2+c2−a22bc=82+92−722⋅8⋅9=64+81−49144=96144=23\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{64 + 81 - 49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}. Deci A=arccos⁡(23)A = \arccos\left(\frac{2}{3}\right).
23 puncte
Calculul unghiurilor B și C. Folosind teorema cosinusurilor pentru B: cos⁡B=a2+c2−b22ac=49+81−642⋅7⋅9=66126=1121\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{49 + 81 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21}. Deci B=arccos⁡(1121)B = \arccos\left(\frac{11}{21}\right). Pentru C: cos⁡C=a2+b2−c22ab=49+64−812⋅7⋅8=32112=27\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{49 + 64 - 81}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}. Deci C=arccos⁡(27)C = \arccos\left(\frac{2}{7}\right). Se poate verifica că suma unghiurilor este π\pi.
34 puncte
Calculul razei cercului circumscris. Folosind teorema sinusurilor, R=a2sin⁡AR = \frac{a}{2 \sin A}. Din cos⁡A=23\cos A = \frac{2}{3}, avem sin⁡A=1−cos⁡2A=1−49=59=53\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}. Atunci R=72⋅53=7⋅325=2125=21510R = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{7 \cdot 3}{2 \sqrt{5}} = \frac{21}{2 \sqrt{5}} = \frac{21 \sqrt{5}}{10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.