MediuProgresii GeometriceClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceȘiruri de numere realeMatematică aplicată
O populație de bacterii se dublează la fiecare oră. Dacă la momentul inițial sunt 1000 de bacterii, și se adaugă încă 500 de bacterii la fiecare oră, determinați numărul de bacterii după nn ore și arătați că șirul (Bn)(B_n) poate fi obținut dintr-o progresie geometrică prin transformări algebrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm cu BnB_n numărul de bacterii după nn ore. Avem B0=1000B_0 = 1000 și Bn=2Bn−1+500B_n = 2B_{n-1} + 500 pentru n≥1n \geq 1.
23 puncte
Căutăm o constantă kk astfel încât Bn+kB_n + k să fie o progresie geometrică. Din Bn=2Bn−1+500B_n = 2B_{n-1} + 500, avem Bn+k=2Bn−1+500+kB_n + k = 2B_{n-1} + 500 + k. Pentru ca Bn+k=2(Bn−1+k)B_n + k = 2(B_{n-1} + k), trebuie ca 500+k=2k500 + k = 2k, deci k=500k = 500. Atunci Bn+500=2(Bn−1+500)B_n + 500 = 2(B_{n-1} + 500), deci șirul (Bn+500)(B_n + 500) este o progresie geometrică cu rația 2.
33 puncte
Cum B0+500=1500B_0 + 500 = 1500, avem Bn+500=1500⋅2nB_n + 500 = 1500 \cdot 2^n, deci Bn=1500⋅2n−500B_n = 1500 \cdot 2^n - 500. Această expresie derivă din progresia geometrică (Bn+500)(B_n + 500).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.