MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere ComplexeGeometrie Analitică
Considerăm progresia geometrică (bn)(b_n) de numere complexe cu b1=1+ib_1 = 1 + i și b3=−2ib_3 = -2i. Determinați rația qq (un număr complex) și calculați b5b_5. Verificați apoi dacă punctele afixe ale termenilor b1,b2,b3b_1, b_2, b_3 sunt coliniare.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din definiția progresiei geometrice, b3=b1⋅q2b_3 = b_1 \cdot q^2, deci q2=b3b1=−2i1+iq^2 = \frac{b_3}{b_1} = \frac{-2i}{1+i}. Simplificăm: −2i1+i=−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−2i+2i22=−1−i\frac{-2i}{1+i} = \frac{-2i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{-2i + 2i^2}{2} = -1 - i. |
23 puncte
Pentru a găsi qq, rezolvăm q2=−1−iq^2 = -1 - i. Fie q=x+yiq = x + yi, cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Atunci (x+yi)2=x2−y2+2xyi=−1−i(x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -1 - i, deci sistemul: x2−y2=−1x^2 - y^2 = -1 și 2xy=−12xy = -1. Rezolvând, obținem două soluții pentru qq, de exemplu q=−1+22−i1+22q = \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} sau opusul. |
32 puncte
Calculăm b5=b1⋅q4=b1⋅(q2)2=(1+i)⋅(−1−i)2b_5 = b_1 \cdot q^4 = b_1 \cdot (q^2)^2 = (1+i) \cdot (-1-i)^2. Calculează (−1−i)2=2i(-1-i)^2 = 2i, deci b5=(1+i)⋅2i=−2+2ib_5 = (1+i) \cdot 2i = -2 + 2i. |
42 puncte
Pentru coliniaritate, punctele A(b1),B(b2),C(b3)A(b_1), B(b_2), C(b_3) sunt coliniare dacă b2−b1b3−b1∈R\frac{b_2 - b_1}{b_3 - b_1} \in \mathbb{R}. Calculăm b2=b1⋅qb_2 = b_1 \cdot q și obținem b2−b1b3−b1=1q+1\frac{b_2 - b_1}{b_3 - b_1} = \frac{1}{q+1}. Deoarece qq este complex și nu real, acest raport nu este real, deci punctele nu sunt coliniare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.