MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(12a01b10c)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & b \\ 1 & 0 & c \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați valorile reale ale parametrilor a,b,ca, b, c pentru care matricea AA este inversabilă, iar apoi, pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, rezolvați sistemul liniar A⋅X=BA \cdot X = B, unde X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} și B=(10−1)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează determinantul matricei AA: det⁡(A)=1⋅∣1b0c∣−2⋅∣0b1c∣+a⋅∣0110∣=1⋅(1⋅c−b⋅0)−2⋅(0⋅c−b⋅1)+a⋅(0⋅0−1⋅1)=c−2⋅(−b)+a⋅(−1)=c+2b−a\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & b \\ 0 & c \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & b \\ 1 & c \end{vmatrix} + a \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot c - b \cdot 0) - 2 \cdot (0 \cdot c - b \cdot 1) + a \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = c - 2 \cdot (-b) + a \cdot (-1) = c + 2b - a.
22 puncte
Matricea AA este inversabilă dacă și numai dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică c+2b−a≠0c + 2b - a \neq 0.
35 puncte
Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, avem det⁡(A)=3+4−1=6≠0\det(A) = 3 + 4 - 1 = 6 \neq 0, deci AA este inversabilă. Se rezolvă sistemul A⋅X=BA \cdot X = B. Sistemul este: {x+2y+z=1y+2z=0x+3z=−1\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ y + 2z = 0 \\ x + 3z = -1 \end{cases}. Din a doua ecuație, y=−2zy = -2z. Substituind în prima: x+2(−2z)+z=1⇒x−4z+z=1⇒x−3z=1x + 2(-2z) + z = 1 \Rightarrow x -4z + z = 1 \Rightarrow x -3z = 1. Din a treia: x+3z=−1x + 3z = -1. Adunând cele două: 2x=0⇒x=02x = 0 \Rightarrow x=0. Atunci din x−3z=1x -3z = 1 avem 0−3z=1⇒z=−130 -3z = 1 \Rightarrow z = -\frac{1}{3}. Și y=−2z=−2⋅(−13)=23y = -2z = -2 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}. Soluția: X=(023−13)X = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.