MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În triunghiul ABCABC se cunosc lungimile laturilor: BC=a=7BC = a = 7, CA=b=8CA = b = 8, AB=c=9AB = c = 9. Să se determine măsurile unghiurilor ∠A\angle A, ∠B\angle B, ∠C\angle C. Apoi, să se afle raza RR a cercului circumscris triunghiului și aria SS a triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicarea teoremei cosinusului: cos⁡A=b2+c2−a22bc=82+92−722⋅8⋅9=64+81−49144=96144=23\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{64+81-49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}, deci sin⁡A=1−cos⁡2A=1−(23)2=59=53\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}. Similar, cos⁡B=a2+c2−b22ac=49+81−642⋅7⋅9=66126=1121\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{49+81-64}{2\cdot7\cdot9} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21}, sin⁡B=1−(1121)2=4521\sin B = \sqrt{1 - \left(\frac{11}{21}\right)^2} = \frac{4\sqrt{5}}{21}, iar cos⁡C=a2+b2−c22ab=49+64−812⋅7⋅8=32112=27\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{49+64-81}{2\cdot7\cdot8} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}, sin⁡C=1−(27)2=357\sin C = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{7}\right)^2} = \frac{3\sqrt{5}}{7}.
23 puncte
Raza cercului circumscris: R=a2sin⁡A=72⋅53=7⋅325=2125=21510R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{7 \cdot 3}{2\sqrt{5}} = \frac{21}{2\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{10}.
33 puncte
Aria triunghiului folosind formula lui Heron: semiperimetrul p=a+b+c2=7+8+92=12p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = 12, deci S=p(p−a)(p−b)(p−c)=12⋅5⋅4⋅3=720=125S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.