MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieNumere ComplexeIdentități algebrice
Rezolvați ecuația z4+1=0z^4 + 1 = 0 în mulțimea numerelor complexe și scrieți soluțiile în formă trigonometrică. Apoi, folosind aceste soluții, demonstrați identitatea cos⁡π4=22\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem ecuația sub forma z4=−1z^4 = -1 și exprimăm −1-1 în formă trigonometrică: −1=cos⁡π+isin⁡π-1 = \cos \pi + i \sin \pi. Aplicăm formula rădăcinilor de ordinul 4: zk=14(cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4)z_k = \sqrt[4]{1} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) pentru k=0,1,2,3k = 0,1,2,3.
24 puncte
Calculăm rădăcinile: z0=cos⁡π4+isin⁡π4z_0 = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}, z1=cos⁡3π4+isin⁡3π4z_1 = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}, z2=cos⁡5π4+isin⁡5π4z_2 = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}, z3=cos⁡7π4+isin⁡7π4z_3 = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}. Observăm că z0z_0 are partea reală cos⁡π4\cos \frac{\pi}{4}.
33 puncte
Din z04=−1z_0^4 = -1, avem (cos⁡π4+isin⁡π4)4=cos⁡π+isin⁡π(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})^4 = \cos \pi + i \sin \pi. Folosind formula lui De Moivre, cos⁡4⋅π4=cos⁡π\cos 4\cdot\frac{\pi}{4} = \cos \pi, deci cos⁡π=−1\cos \pi = -1, iar din calcul direct, cos⁡π4\cos \frac{\pi}{4} este pozitiv și verifică cos⁡2π4=12\cos^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}, astfel cos⁡π4=22\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.