MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeLogaritmi
Se consideră funcția f(x)=ln⁡(x)−af(x) = \ln(x) - a, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați aa astfel încât aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=1x = 1 și x=ex = e să fie egală cu 11.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Observăm că funcția f(x)=ln⁡(x)−af(x) = \ln(x) - a este crescătoare pe (0,∞)(0, \infty). Calculăm f(1)=−af(1) = -a și f(e)=1−af(e) = 1 - a. Pentru ca aria să fie pozitivă, considerăm că f(x)≤0f(x) \leq 0 pe [1,e][1,e], deci a≥1a \geq 1. Aria este dată de A=∫1e(a−ln⁡(x))dxA = \int_{1}^{e} (a - \ln(x)) dx.
23 puncte
Calculăm integrala: ∫1e(a−ln⁡(x))dx=[ax−xln⁡(x)+x]1e\int_{1}^{e} (a - \ln(x)) dx = \left[ a x - x \ln(x) + x \right]_{1}^{e}.
33 puncte
Efectuăm calculele: (ae−eln⁡(e)+e)−(a⋅1−1⋅ln⁡(1)+1)=(ae−e+e)−(a−0+1)=ae−a−1\left( a e - e \ln(e) + e \right) - \left( a \cdot 1 - 1 \cdot \ln(1) + 1 \right) = (a e - e + e) - (a - 0 + 1) = a e - a - 1.
42 puncte
Punem condiția A=1A = 1, deci ae−a−1=1⇒a(e−1)=2⇒a=2e−1a e - a - 1 = 1 \Rightarrow a(e - 1) = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{e-1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.