MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\}, se definește legea de compoziție x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. Să se verifice dacă legea este asociativă, comutativă, și să se determine elementul neutru și elementele simetrizabile.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea comutativității: se calculează x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy și y∗x=y+x−yx=x+y−xyy * x = y + x - yx = x + y - xy, deci x∗y=y∗xx * y = y * x, așadar legea este comutativă.
23 puncte
Verificarea asociativității: se calculează (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x * y) * z = (x+y-xy) * z = (x+y-xy) + z - (x+y-xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx * (y * z) = x * (y+z-yz) = x + (y+z-yz) - x(y+z-yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz. Cele două expresii sunt egale, deci legea este asociativă.
32 puncte
Determinarea elementului neutru: se rezolvă x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Mx \in M, adică x+e−xe=xx + e - xe = x, de unde e(1−x)=0e(1-x)=0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice x≠1x \neq 1, trebuie e=0e=0. Se verifică că 0∗x=0+x−0⋅x=x0 * x = 0 + x - 0 \cdot x = x, deci 00 este element neutru.
43 puncte
Determinarea elementelor simetrizabile: pentru x∈Mx \in M, se caută x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Rezultă x+x′−xx′=0x + x' - x x' = 0, de unde x′(1−x)=−xx'(1-x) = -x, deci x′=−x1−xx' = \frac{-x}{1-x}. Acest element este definit pentru x≠1x \neq 1, ceea ce este adevărat în MM, și se verifică că x∗−x1−x=0x * \frac{-x}{1-x} = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.