MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 termenii unei progresii geometrice de numere complexe, cu z1=2+iz_1 = 2+i și z3=1−2iz_3 = 1-2i. Determinați z2z_2 astfel încât ∣z2∣=5|z_2| = \sqrt{5}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Din definiția progresiei geometrice, avem z2=z1qz_2 = z_1 q și z3=z1q2z_3 = z_1 q^2. Cu z1z_1 și z3z_3 date, obținem q2=z3z1q^2 = \frac{z_3}{z_1}.
23 puncte
Calculăm q2=1−2i2+i=−iq^2 = \frac{1-2i}{2+i} = -i.
32 puncte
Notăm q=a+biq = a+bi și scriem ecuația q2=−iq^2 = -i: a2−b2+2abi=−ia^2 - b^2 + 2abi = -i, de unde a2−b2=0a^2 - b^2 = 0 și 2ab=−12ab = -1.
41 punct
Rezolvăm sistemul: din a2=b2a^2 = b^2, avem a=±ba = \pm b. Pentru a=ba = b, ecuația 2ab=−12ab = -1 devine 2a2=−12a^2 = -1, imposibilă. Pentru a=−ba = -b, obținem −2a2=−1-2a^2 = -1, deci a2=12a^2 = \frac{1}{2}, iar a=±22a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} și b=∓22b = \mp \frac{\sqrt{2}}{2}.
51 punct
Calculăm z2=z1qz_2 = z_1 q. Pentru q=22−22iq = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i, avem z2=22(3−i)z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}(3-i). Verificăm că ∣z2∣=5|z_2| = \sqrt{5}. Soluția pentru q=−22+22iq = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i dă z2=22(−3+i)z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}(-3+i), cu același modul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.