MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Se consideră progresia geometrică (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} cu a1=1a_1 = 1 și rația z∈Cz \in \mathbb{C}, unde zz este o rădăcină a ecuației z2−2z+2=0z^2 - 2z + 2 = 0. Calculați suma S=a1+a2+a3+⋯+a10S = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Rezolvăm ecuația z2−2z+2=0z^2 - 2z + 2 = 0. Discriminantul este Δ=−4\Delta = -4, deci z=1±iz = 1 \pm i. Rădăcinile sunt z1=1+iz_1 = 1+i și z2=1−iz_2 = 1-i.
22 puncte
Suma primilor 10 termeni ai unei progresii geometrice este S=a1⋅z10−1z−1S = a_1 \cdot \frac{z^{10} - 1}{z - 1}, pentru z≠1z \neq 1.
33 puncte
Calculăm z10z^{10} pentru fiecare rădăcină. Pentru z1=1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)z_1 = 1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right), avem z110=32iz_1^{10} = 32i. Pentru z2=1−i=2(cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4))z_2 = 1-i = \sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right), avem z210=−32iz_2^{10} = -32i.
42 puncte
Pentru z1=1+iz_1 = 1+i, S=32i−1i=32+iS = \frac{32i - 1}{i} = 32 + i. Pentru z2=1−iz_2 = 1-i, S=−32i−1−i=32−iS = \frac{-32i - 1}{-i} = 32 - i. Suma este 32+i32+i sau 32−i32-i, în funcție de rădăcina aleasă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.