MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciTrigonometrieInducție matematică
Se consideră matricea M=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)M = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, care reprezintă rotația în plan cu unghiul θ\theta. Arătați că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc Mn=(cos⁡nθ−sin⁡nθsin⁡nθcos⁡nθ)M^n = \begin{pmatrix} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{pmatrix}. Utilizați metoda inducției matematice.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Pentru n=1n=1, se verifică direct că M1=M=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)=(cos⁡1⋅θ−sin⁡1⋅θsin⁡1⋅θcos⁡1⋅θ)M^1 = M = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 1\cdot\theta & -\sin 1\cdot\theta \\ \sin 1\cdot\theta & \cos 1\cdot\theta \end{pmatrix}.
22 puncte
Se presupune că pentru n=kn=k, afirmația este adevărată, adică Mk=(cos⁡kθ−sin⁡kθsin⁡kθcos⁡kθ)M^k = \begin{pmatrix} \cos k\theta & -\sin k\theta \\ \sin k\theta & \cos k\theta \end{pmatrix}.
36 puncte
Se demonstrează pentru n=k+1n=k+1: Mk+1=Mk⋅M=(cos⁡kθ−sin⁡kθsin⁡kθcos⁡kθ)⋅(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)M^{k+1} = M^k \cdot M = \begin{pmatrix} \cos k\theta & -\sin k\theta \\ \sin k\theta & \cos k\theta \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. Se calculează produsul și se folosesc identitățile trigonometrice: cos⁡(kθ+θ)=cos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ\cos(k\theta + \theta) = \cos k\theta \cos\theta - \sin k\theta \sin\theta și sin⁡(kθ+θ)=sin⁡kθcos⁡θ+cos⁡kθsin⁡θ\sin(k\theta + \theta) = \sin k\theta \cos\theta + \cos k\theta \sin\theta, obținând Mk+1=(cos⁡(k+1)θ−sin⁡(k+1)θsin⁡(k+1)θcos⁡(k+1)θ)M^{k+1} = \begin{pmatrix} \cos (k+1)\theta & -\sin (k+1)\theta \\ \sin (k+1)\theta & \cos (k+1)\theta \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.