MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmiProgresii Aritmetice
Fie x,y,zx, y, z numere reale pozitive în progresie geometrică. Dacă log⁡xa,log⁡ya,log⁡za\log_x a, \log_y a, \log_z a sunt în progresie aritmetică, cu a>0,a≠1a > 0, a \neq 1, demonstrați că rația progresiei geometrice este a\sqrt{a} sau 1a\frac{1}{\sqrt{a}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți condițiile din enunț: y2=xzy^2 = xz (deoarece x,y,zx, y, z sunt în progresie geometrică) și 2log⁡ya=log⁡xa+log⁡za2 \log_y a = \log_x a + \log_z a (deoarece log⁡xa,log⁡ya,log⁡za\log_x a, \log_y a, \log_z a sunt în progresie aritmetică).
24 puncte
Folosiți proprietățile logaritmilor pentru a simplifica: 2log⁡alog⁡y=log⁡alog⁡x+log⁡alog⁡z2 \frac{\log a}{\log y} = \frac{\log a}{\log x} + \frac{\log a}{\log z}. Deoarece a>0,a≠1a > 0, a \neq 1, log⁡a≠0\log a \neq 0, se poate simplifica, obținând 2log⁡y=1log⁡x+1log⁡z\frac{2}{\log y} = \frac{1}{\log x} + \frac{1}{\log z}.
33 puncte
Înlocuiți log⁡y=12(log⁡x+log⁡z)\log y = \frac{1}{2}(\log x + \log z) din y2=xzy^2 = xz și rezolvați pentru a arăta că yx=a\frac{y}{x} = \sqrt{a} sau yx=1a\frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{a}}, ceea ce implică rația q=aq = \sqrt{a} sau 1a\frac{1}{\sqrt{a}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.