MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Determinați mulțimea soluțiilor reale ale ecuației log⁡12(x2−5x+6)=log⁡12(x−2)+2\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabiliți condițiile de existență: x2−5x+6>0x^2 - 5x + 6 > 0 și x−2>0x-2 > 0. Rezolvând, x2−5x+6>0⇒x∈(−∞,2)∪(3,∞)x^2 - 5x + 6 > 0 \Rightarrow x \in (-\infty,2) \cup (3,\infty), iar x−2>0⇒x>2x-2 > 0 \Rightarrow x > 2. Intersecția este x∈(3,∞)x \in (3,\infty).
23 puncte
Aplicați proprietățile logaritmilor: log⁡12(x2−5x+6)−log⁡12(x−2)=2\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) - \log_{\frac{1}{2}}(x-2) = 2, deci log⁡12x2−5x+6x−2=2\log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2 - 5x + 6}{x-2} = 2.
33 puncte
Scrieți ecuația exponențială: x2−5x+6x−2=(12)2=14\frac{x^2 - 5x + 6}{x-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}. Simplificați: (x−2)(x−3)x−2=14\frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = \frac{1}{4} pentru x≠2x \neq 2, deci x−3=14x-3 = \frac{1}{4}, adică x=134x = \frac{13}{4}.
42 puncte
Verificați dacă x=134x = \frac{13}{4} satisface condițiile: 134=3.25∈(3,∞)\frac{13}{4} = 3.25 \in (3,\infty), deci este soluție. Mulțimea soluțiilor este {134}\left\{ \frac{13}{4} \right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.