MediuNumere ComplexeClasa 11

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrieȘiruri de numere reale
Rezolvați ecuația z4=−16z^4 = -16 în mulțimea numerelor complexe. Exprimați soluțiile în formă trigonometrică și calculați suma S=cos⁡(π4)+cos⁡(3π4)+cos⁡(5π4)+cos⁡(7π4)S = \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{3\pi}{4}) + \cos(\frac{5\pi}{4}) + \cos(\frac{7\pi}{4}) folosind aceste soluții.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem −16-16 în formă trigonometrică: −16=16(cos⁡π+isin⁡π)-16 = 16(\cos \pi + i \sin \pi).
22 puncte
Rădăcinile de ordinul 4 sunt zk=164(cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4)z_k = \sqrt[4]{16} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3.
32 puncte
Calculăm: zk=2(cos⁡(2k+1)π4+isin⁡(2k+1)π4)z_k = 2 \left( \cos \frac{(2k+1)\pi}{4} + i \sin \frac{(2k+1)\pi}{4} \right).
42 puncte
Suma SS este partea reală a sumei soluțiilor: S=ℜ(∑k=03zk)=∑k=03cos⁡(2k+1)π4S = \Re \left( \sum_{k=0}^{3} z_k \right) = \sum_{k=0}^{3} \cos \frac{(2k+1)\pi}{4}.
52 puncte
Suma tuturor soluțiilor ecuației z4=−16z^4 = -16 este 0 (deoarece ecuația este z4+16=0z^4 + 16 = 0 și coeficientul lui z3z^3 este 0), deci ∑k=03zk=0\sum_{k=0}^{3} z_k = 0, iar partea reală a acestei sume este 0, astfel S=0S = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.