MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrie
Fie z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos\theta + i\sin\theta. Demonstrați că zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta) pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Folosind această relație, deduceți o formulă pentru cos⁡5θ\cos^5\theta în funcție de cos⁡θ\cos\theta și sin⁡θ\sin\theta, și apoi rezolvați ecuația cos⁡5θ=12\cos^5\theta = \frac{1}{2} pentru θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Utilizați formula lui Moivre: zn=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)z^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) și z−n=cos⁡(nθ)−isin⁡(nθ)z^{-n} = \cos(n\theta) - i\sin(n\theta); adunați pentru a obține zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta).\n
24 puncte
Scrieți cos⁡5θ=(z+z−12)5\cos^5\theta = \left( \frac{z + z^{-1}}{2} \right)^5, dezvoltați binomul și utilizați identitatea pentru a exprima în funcție de cos⁡(kθ)\cos(k\theta); obțineți cos⁡5θ=116(cos⁡5θ+5cos⁡3θ+10cos⁡θ)\cos^5\theta = \frac{1}{16}(\cos5\theta + 5\cos3\theta + 10\cos\theta).\n
33 puncte
Înlocuiți în ecuație: 116(cos⁡5θ+5cos⁡3θ+10cos⁡θ)=12\frac{1}{16}(\cos5\theta + 5\cos3\theta + 10\cos\theta) = \frac{1}{2}; simplificați la cos⁡5θ+5cos⁡3θ+10cos⁡θ=8\cos5\theta + 5\cos3\theta + 10\cos\theta = 8 și rezolvați prin substituții trigonometrice sau metode numerice pentru a găsi soluțiile principale θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} și θ=5π3\theta = \frac{5\pi}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.