MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 numere complexe care formează o progresie geometrică. Dacă ∣z1∣=1|z_1| = 1, ∣z2∣=2|z_2| = 2, și ∣z3∣=4|z_3| = 4, iar argumentul lui z2z_2 este π3\frac{\pi}{3}, determinați numerele complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condiția de progresie geometrică: z22=z1⋅z3z_2^2 = z_1 \cdot z_3.
23 puncte
Verificăm din proprietățile modulului: ∣z2∣2=∣z1∣⋅∣z3∣|z_2|^2 = |z_1| \cdot |z_3|, adică 22=1⋅42^2 = 1 \cdot 4, ceea ce este adevărat.
34 puncte
Exprimăm numerele în formă trigonometrică: z1=cos⁡θ1+isin⁡θ1z_1 = \cos \theta_1 + i \sin \theta_1, z2=2(cos⁡π3+isin⁡π3)z_2 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}), z3=4(cos⁡θ3+isin⁡θ3)z_3 = 4(\cos \theta_3 + i \sin \theta_3). Din z22=z1⋅z3z_2^2 = z_1 \cdot z_3, obținem 4(cos⁡2π3+isin⁡2π3)=4(cos⁡(θ1+θ3)+isin⁡(θ1+θ3))4(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 4(\cos (\theta_1 + \theta_3) + i \sin (\theta_1 + \theta_3)), deci θ1+θ3=2π3\theta_1 + \theta_3 = \frac{2\pi}{3}. Argumentele sunt în progresie aritmetică, așadar θ2=θ1+θ32=π3\theta_2 = \frac{\theta_1 + \theta_3}{2} = \frac{\pi}{3}. Alegem θ1=0\theta_1 = 0 și θ3=2π3\theta_3 = \frac{2\pi}{3}, atunci z1=1z_1 = 1, z2=1+i3z_2 = 1 + i\sqrt{3}, z3=−2+2i3z_3 = -2 + 2i\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.