MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrieCombinatorică
Fie z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, unde θ∈R\theta \in \mathbb{R}. Demonstrați că zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta) pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Utilizați această identitate pentru a calcula suma S=∑k=0n(nk)cos⁡(kθ)S = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos(k\theta).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosind formula lui Moivre, zn=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)z^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) și z−n=cos⁡(nθ)−isin⁡(nθ)z^{-n} = \cos(n\theta) - i\sin(n\theta). Adunând, obținem zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta).
24 puncte
Considerăm expresiile (1+z)n=∑k=0n(nk)zk(1+z)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} z^k și (1+z−1)n=∑k=0n(nk)z−k(1+z^{-1})^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} z^{-k}, dezvoltate cu binomul lui Newton. Adunând aceste două egalități, avem (1+z)n+(1+z−1)n=∑k=0n(nk)(zk+z−k)(1+z)^n + (1+z^{-1})^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (z^k + z^{-k}).
33 puncte
Folosind identitatea demonstrată, zk+z−k=2cos⁡(kθ)z^k + z^{-k} = 2\cos(k\theta). Înlocuind, obținem (1+z)n+(1+z−1)n=2∑k=0n(nk)cos⁡(kθ)=2S(1+z)^n + (1+z^{-1})^n = 2\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos(k\theta) = 2S. De aici, S=12[(1+z)n+(1+z−1)n]S = \frac{1}{2} \left[ (1+z)^n + (1+z^{-1})^n \right]. Exprimând 1+z=2cos⁡(θ2)(cos⁡(θ2)+isin⁡(θ2))1+z = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \right) și similar pentru 1+z−11+z^{-1}, și aplicând formula lui Moivre, se obține S=2n−1cos⁡n(θ2)cos⁡(nθ2)S = 2^{n-1} \cos^n\left(\frac{\theta}{2}\right) \cos\left(\frac{n\theta}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.