MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveTrigonometrie
Calculați integrala definită ∫0πxsin⁡x dx\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicați integrarea prin părți. Notați u=xu = x și dv=sin⁡x dxdv = \sin x \, dx, deci du=dxdu = dx și v=−cos⁡xv = -\cos x. Formula dă ∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du, astfel ∫xsin⁡x dx=−xcos⁡x+∫cos⁡x dx\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx.
24 puncte
Scrieți integrala definită aplicând limitele: ∫0πxsin⁡x dx=[−xcos⁡x]0π+∫0πcos⁡x dx\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x \, dx.
33 puncte
Evaluați: [−xcos⁡x]0π=(−πcos⁡π)−(0)=−π(−1)=π\left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi} = (-\pi \cos \pi) - (0) = -\pi (-1) = \pi, iar ∫0πcos⁡x dx=[sin⁡x]0π=sin⁡π−sin⁡0=0\int_{0}^{\pi} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0. Rezultatul final este π\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.