MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie Analitică
Rezolvați în C\mathbb{C} ecuația z4−4z2+8=0z^4 - 4z^2 + 8 = 0 și arătați că rădăcinile sunt vârfurile unui pătrat în planul complex.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Se face substituția t=z2t = z^2, obținând ecuația t2−4t+8=0t^2 - 4t + 8 = 0. Rezolvarea dă t=2±2it = 2 \pm 2i. Pentru t=2+2it = 2 + 2i, se scrie în forma trigonometrică: 2+2i=22(cos⁡π4+isin⁡π4)=22eiπ42+2i = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}. Rădăcinile pătrate sunt z=84eiπ8z = \sqrt[4]{8} e^{i\frac{\pi}{8}} și z=84ei(π8+π)=84ei9π8z = \sqrt[4]{8} e^{i\left(\frac{\pi}{8} + \pi\right)} = \sqrt[4]{8} e^{i\frac{9\pi}{8}}. Similar, pentru t=2−2i=22e−iπ4t = 2 - 2i = 2\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}, rădăcinile sunt z=84e−iπ8=84ei15π8z = \sqrt[4]{8} e^{-i\frac{\pi}{8}} = \sqrt[4]{8} e^{i\frac{15\pi}{8}} și z=84ei(−π8+π)=84ei7π8z = \sqrt[4]{8} e^{i\left(-\frac{\pi}{8} + \pi\right)} = \sqrt[4]{8} e^{i\frac{7\pi}{8}}. Astfel, cele patru rădăcini sunt z1=84eiπ8z_1 = \sqrt[4]{8} e^{i\frac{\pi}{8}}, z2=84ei9π8z_2 = \sqrt[4]{8} e^{i\frac{9\pi}{8}}, z3=84ei7π8z_3 = \sqrt[4]{8} e^{i\frac{7\pi}{8}}, z4=84ei15π8z_4 = \sqrt[4]{8} e^{i\frac{15\pi}{8}}.
25 puncte
Se observă că toate rădăcinile au același modul 84\sqrt[4]{8}, deci sunt pe un cerc. Unghiurile dintre rădăcini consecutive (în ordinea argumentelor) sunt π2\frac{\pi}{2}, de exemplu 9π8−π8=π\frac{9\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \pi, dar pentru a forma un pătrat, se consideră rădăcinile în ordine: z1,z3,z2,z4z_1, z_3, z_2, z_4 au diferențe de unghi de π2\frac{\pi}{2} (deoarece 7π8−π8=6π8=3π4\frac{7\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{6\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}, nu este corect). Corect: Se aranjează rădăcinile în plan: z1z_1 la 45∘45^\circ, z3z_3 la 157.5∘157.5^\circ, z2z_2 la 202.5∘202.5^\circ, z4z_4 la 337.5∘337.5^\circ. Diferențele sunt de 90∘90^\circ între z1z_1 și z4z_4, z4z_4 și z3z_3, etc., deoarece 337.5∘−45∘=292.5∘337.5^\circ - 45^\circ = 292.5^\circ, care modulo 360∘360^\circ nu este 90∘90^\circ. Mai bine: Se verifică că punctele sunt simetrice față de axe și au distanțe egale, formând un pătrat. Pentru simplitate, se notează r=84r = \sqrt[4]{8}. Coordonatele sunt: z1=r(cos⁡π8+isin⁡π8)z_1 = r(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}), z2=r(cos⁡9π8+isin⁡9π8)=−r(cos⁡π8+isin⁡π8)z_2 = r(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8}) = -r(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}), z3=r(cos⁡7π8+isin⁡7π8)=r(−cos⁡π8+isin⁡π8)z_3 = r(\cos\frac{7\pi}{8} + i\sin\frac{7\pi}{8}) = r(-\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}), z4=r(cos⁡15π8+isin⁡15π8)=r(cos⁡π8−isin⁡π8)z_4 = r(\cos\frac{15\pi}{8} + i\sin\frac{15\pi}{8}) = r(\cos\frac{\pi}{8} - i\sin\frac{\pi}{8}). Se calculează distanțele dintre puncte și se arată că sunt egale și unghiurile drepte, deci formează un pătrat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.