MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieFuncția de gradul al II-lea
Determinați valorile reale ale parametrului aa pentru care ecuația asin⁡2x+(2a−1)sin⁡x+a=0a \sin^2 x + (2a - 1) \sin x + a = 0 are soluții reale în xx.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se notează t=sin⁡xt = \sin x, cu t∈[−1,1]t \in [-1, 1]. Ecuația devine at2+(2a−1)t+a=0a t^2 + (2a - 1)t + a = 0.
22 puncte
Cazul a=0a = 0: atunci ecuația devine −t=0-t = 0, deci t=0t = 0, iar sin⁡x=0\sin x = 0 are soluții x=kπx = k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}, deci a=0a = 0 este valid.
32 puncte
Pentru a≠0a \neq 0, ecuația este pătratică în tt. Pentru soluții reale în tt, discriminantul Δ≥0\Delta \geq 0: Δ=(2a−1)2−4a2=−4a+1≥0⇒a≤14\Delta = (2a-1)^2 - 4a^2 = -4a+1 \geq 0 \Rightarrow a \leq \frac{1}{4}.
43 puncte
Pentru a≤14a \leq \frac{1}{4} și a≠0a \neq 0, ecuația are rădăcini reale. Fie t1t_1 și t2t_2 rădăcinile. Atunci t1t2=aa=1t_1 t_2 = \frac{a}{a} = 1. Deoarece produsul este 1, dacă rădăcinile sunt reale, una are ∣t∣≤1|t| \leq 1 și cealaltă ∣t∣≥1|t| \geq 1. Astfel, există cel puțin o rădăcină t0∈[−1,1]t_0 \in [-1,1], deci sin⁡x=t0\sin x = t_0 are soluții xx.
51 punct
Concluzie: a∈(−∞,14]a \in (-\infty, \frac{1}{4}].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.