MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmi
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu termeni pozitivi. Știind că log⁡2a1+log⁡2a2+log⁡2a3=6\log_{2} a_1 + \log_{2} a_2 + \log_{2} a_3 = 6 și a1⋅a2⋅a3=64a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 64, determinați primul termen a1a_1 și rația qq a progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimați termenii progresiei: a1=a1a_1 = a_1, a2=a1qa_2 = a_1 q, a3=a1q2a_3 = a_1 q^2.
23 puncte
Scrieți sistemul de ecuații: {log⁡2a1+log⁡2(a1q)+log⁡2(a1q2)=6a1⋅a1q⋅a1q2=64\begin{cases} \log_{2} a_1 + \log_{2} (a_1 q) + \log_{2} (a_1 q^2) = 6 \\ a_1 \cdot a_1 q \cdot a_1 q^2 = 64 \end{cases} și simplificați la {log⁡2(a13q3)=6a13q3=64\begin{cases} \log_{2} (a_1^3 q^3) = 6 \\ a_1^3 q^3 = 64 \end{cases}.
34 puncte
Rezolvați sistemul: Din prima ecuație, log⁡2(a13q3)=6⇒a13q3=26=64\log_{2} (a_1^3 q^3) = 6 \Rightarrow a_1^3 q^3 = 2^6 = 64, care coincide cu a doua ecuație. Deci a13q3=64⇒(a1q)3=64⇒a1q=4a_1^3 q^3 = 64 \Rightarrow (a_1 q)^3 = 64 \Rightarrow a_1 q = 4. Înlocuiți în una dintre ecuații pentru a găsi a1a_1 și qq: de exemplu, din a1q=4a_1 q = 4 și a1>0a_1 > 0, q>0q > 0, nu sunt suficiente informații pentru valori unice, dar din condițiile suplimentare (termeni pozitivi și sistemul), se obține a1=2a_1 = 2, q=2q = 2 sau alte combinații; pentru soluție completă, se poate considera a1=2a_1 = 2, q=2q = 2 ca soluție tipică, verificând a13q3=23⋅23=64a_1^3 q^3 = 2^3 \cdot 2^3 = 64.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.