MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieEcuații iraționale
Fie x∈Rx \in \mathbb{R}. Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația: 1+sin⁡x+1−sin⁡x=2cos⁡x\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x} = 2 \cos x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Stabilirea condițiilor de existență: 1+sin⁡x≥01 + \sin x \geq 0 și 1−sin⁡x≥01 - \sin x \geq 0, care sunt întotdeauna adevărate deoarece sin⁡x∈[−1,1]\sin x \in [-1,1], deci domeniul este R\mathbb{R}.\n
23 puncte
Se ridică la pătrat ambii membri: (1+sin⁡x+1−sin⁡x)2=4cos⁡2x(\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x})^2 = 4 \cos^2 x. Dezvoltând: 1+sin⁡x+1−sin⁡x+2(1+sin⁡x)(1−sin⁡x)=4cos⁡2x1 + \sin x + 1 - \sin x + 2\sqrt{(1+\sin x)(1-\sin x)} = 4\cos^2 x, deci 2+21−sin⁡2x=4cos⁡2x2 + 2\sqrt{1-\sin^2 x} = 4\cos^2 x. Dar 1−sin⁡2x=∣cos⁡x∣\sqrt{1-\sin^2 x} = |\cos x|, deci ecuația devine 2+2∣cos⁡x∣=4cos⁡2x2 + 2|\cos x| = 4\cos^2 x.\n
34 puncte
Se consideră cazurile pentru ∣cos⁡x∣|\cos x|. Dacă cos⁡x≥0\cos x \geq 0, atunci ∣cos⁡x∣=cos⁡x|\cos x| = \cos x, și ecuația este 2+2cos⁡x=4cos⁡2x2 + 2\cos x = 4\cos^2 x, adică 2cos⁡2x−cos⁡x−1=02\cos^2 x - \cos x -1 =0. Rezolvând, cos⁡x=1\cos x = 1 sau cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2}. Dar cos⁡x≥0\cos x \geq 0, deci cos⁡x=1\cos x = 1 (iar cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2} se respinge). Astfel, cos⁡x=1⇒x=2kπ,k∈Z\cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}. Dacă cos⁡x<0\cos x < 0, atunci ∣cos⁡x∣=−cos⁡x|\cos x| = -\cos x, și ecuația devine 2−2cos⁡x=4cos⁡2x2 - 2\cos x = 4\cos^2 x, adică 2cos⁡2x+cos⁡x−1=02\cos^2 x + \cos x -1 =0. Rezolvând, cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} sau cos⁡x=−1\cos x = -1. Dar cos⁡x<0\cos x < 0, deci cos⁡x=−1⇒x=π+2kπ,k∈Z\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} (iar cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} se respinge).\n
42 puncte
Verificarea soluțiilor în ecuația originală. Pentru x=2kπx = 2k\pi, 1+0+1−0=1+1=2\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0} = 1+1=2 și 2cos⁡(2kπ)=22\cos(2k\pi)=2, deci verifică. Pentru x=π+2kπx = \pi + 2k\pi, 1+0+1−0=2\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0} = 2 și 2cos⁡(π+2kπ)=2(−1)=−22\cos(\pi+2k\pi)=2(-1)=-2, nu verifică. Deci singura soluție este x=2kπ,k∈Zx = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.