MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogaritmi
Fie (an)(a_n) o progresie geometrică cu a1=8a_1 = 8 și rația qq. Dacă log⁡2(a3)=1\log_2(a_3) = 1 și S3=14S_3 = 14, determinați qq și calculați suma infinită a progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din log⁡2(a3)=1\log_2(a_3) = 1, avem a3=2a_3 = 2. Folosind a3=a1⋅q2a_3 = a_1 \cdot q^2, obținem 8⋅q2=28 \cdot q^2 = 2, deci q2=14q^2 = \frac{1}{4}.
23 puncte
Rezolvăm q2=14q^2 = \frac{1}{4}, găsind q=12q = \frac{1}{2} sau q=−12q = -\frac{1}{2}. Folosim condiția S3=14S_3 = 14 pentru a determina valoarea corectă. Calculăm S3=a1(q3−1)q−1S_3 = \frac{a_1(q^3 - 1)}{q-1} pentru ambele cazuri.
32 puncte
Pentru q=12q = \frac{1}{2}, S3=8((1/2)3−1)1/2−1=8(1/8−1)−1/2=8⋅(−7/8)−1/2=−7−1/2=14S_3 = \frac{8((1/2)^3 - 1)}{1/2 - 1} = \frac{8(1/8 - 1)}{-1/2} = \frac{8 \cdot (-7/8)}{-1/2} = \frac{-7}{-1/2} = 14, care verifică. Pentru q=−12q = -\frac{1}{2}, S3=8((−1/2)3−1)−1/2−1=8(−1/8−1)−3/2=8⋅(−9/8)−3/2=−9−3/2=6≠14S_3 = \frac{8((-1/2)^3 - 1)}{-1/2 - 1} = \frac{8(-1/8 - 1)}{-3/2} = \frac{8 \cdot (-9/8)}{-3/2} = \frac{-9}{-3/2} = 6 \neq 14, deci q=12q = \frac{1}{2}.
42 puncte
Deoarece ∣q∣=12<1|q| = \frac{1}{2} < 1, suma infinită este S=a11−q=81−1/2=81/2=16S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{8}{1 - 1/2} = \frac{8}{1/2} = 16.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.