MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (zn)(z_n) o progresie geometrică de numere complexe cu z1=1+iz_1 = 1 + i și z3=−2+2iz_3 = -2 + 2i. Determinați rația qq și calculați ∣z1+z2+z3∣|z_1 + z_2 + z_3|.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Se scrie termenul general al progresiei geometrice: zn=z1⋅qn−1z_n = z_1 \cdot q^{n-1}, deci z3=z1q2z_3 = z_1 q^2.
23 puncte
Din z3=−2+2iz_3 = -2+2i se obține (1+i)q2=−2+2i(1+i) q^2 = -2+2i, deci q2=−2+2i1+iq^2 = \frac{-2+2i}{1+i}. Se calculează q2=2iq^2 = 2i.
32 puncte
Se determină qq din q2=2iq^2 = 2i. Notăm q=a+biq = a+bi cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}. Atunci (a+bi)2=a2−b2+2abi=2i(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi = 2i, deci a2−b2=0a^2 - b^2 = 0 și 2ab=22ab = 2. Rezolvând, se obține a=ba=b și ab=1ab=1, deci a2=1a^2=1, adică a=1,b=1a=1, b=1 sau a=−1,b=−1a=-1, b=-1. Astfel, q=1+iq = 1+i sau q=−1−iq = -1-i.
41 punct
Se calculează z2=z1qz_2 = z_1 q. Pentru q=1+iq=1+i, z2=(1+i)(1+i)=2iz_2 = (1+i)(1+i)=2i; pentru q=−1−iq=-1-i, z2=(1+i)(−1−i)=−2iz_2 = (1+i)(-1-i)=-2i.
51 punct
Se calculează suma z1+z2+z3z_1 + z_2 + z_3. În ambele cazuri, z1+z2+z3=(1+i)+2i+(−2+2i)=−1+5iz_1 + z_2 + z_3 = (1+i) + 2i + (-2+2i) = -1+5i sau (1+i)+(−2i)+(−2+2i)=−1+5i(1+i) + (-2i) + (-2+2i) = -1+5i. Modulul este ∣−1+5i∣=(−1)2+52=26| -1+5i | = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{26}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.