MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriFuncția de gradul I
Fie mulțimea A={f:R→R∣f(x)=ax+b, cu a,b∈R,a≠0}A = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f(x) = ax + b, \text{ cu } a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \}. Considerând compunerea funcțiilor ∘\circ ca lege de compoziție, să se arate că (A,∘)(A, \circ) este un grup. Este acest grup abelian?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru f,g∈Af,g \in A cu f(x)=a1x+b1f(x)=a_1 x + b_1 și g(x)=a2x+b2g(x)=a_2 x + b_2, compunerea f∘g(x)=f(g(x))=a1(a2x+b2)+b1=a1a2x+a1b2+b1f \circ g (x) = f(g(x)) = a_1(a_2 x + b_2) + b_1 = a_1 a_2 x + a_1 b_2 + b_1. Deoarece a1≠0a_1 \neq 0 și a2≠0a_2 \neq 0, avem a1a2≠0a_1 a_2 \neq 0, deci f∘g∈Af \circ g \in A.
22 puncte
Asociativitatea: compunerea funcțiilor este asociativă în general, deci pentru orice f,g,h∈Af,g,h \in A, (f∘g)∘h=f∘(g∘h)(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h).
32 puncte
Elementul neutru: funcția e(x)=xe(x) = x (adică cu a=1,b=0a=1, b=0) aparține lui AA și verifică e∘f=f∘e=fe \circ f = f \circ e = f pentru orice f∈Af \in A.
42 puncte
Elementele inverse: pentru f(x)=ax+b∈Af(x)=a x + b \in A, inversa este f−1(x)=x−baf^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}, care aparține lui AA deoarece 1a≠0\frac{1}{a} \neq 0 dacă a≠0a \neq 0. Se verifică că f∘f−1=f−1∘f=ef \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = e.
52 puncte
Comutativitatea: grupul nu este abelian, deoarece există f,g∈Af,g \in A astfel încât f∘g≠g∘ff \circ g \neq g \circ f. De exemplu, pentru f(x)=2x+1f(x)=2x+1 și g(x)=3x−1g(x)=3x-1, avem f∘g(x)=2(3x−1)+1=6x−1f \circ g (x) = 2(3x-1)+1 = 6x-1 și g∘f(x)=3(2x+1)−1=6x+2g \circ f (x) = 3(2x+1)-1 = 6x+2, care sunt diferite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.