MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=sin⁡xy = \sin x și y=cos⁡xy = \cos x pe intervalul [0,π][0, \pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Găsiți punctele de intersecție ale curbelor: sin⁡x=cos⁡x⇒tan⁡x=1⇒x=π4\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} în intervalul [0,π][0, \pi].
22 puncte
Stabiliți ordinea funcțiilor: pentru x∈[0,π4)x \in [0, \frac{\pi}{4}), cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x; pentru x∈(π4,π]x \in (\frac{\pi}{4}, \pi], sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x.
33 puncte
Scrieți integrala pentru arie: A=∫0π4(cos⁡x−sin⁡x)dx+∫π4π(sin⁡x−cos⁡x)dxA = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx.
43 puncte
Calculați integralele: ∫(cos⁡x−sin⁡x)dx=sin⁡x+cos⁡x+C\int (\cos x - \sin x) dx = \sin x + \cos x + C, deci primul integral este [sin⁡x+cos⁡x]0π4=(sin⁡π4+cos⁡π4)−(sin⁡0+cos⁡0)=(22+22)−(0+1)=2−1[\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1. Al doilea integral: ∫(sin⁡x−cos⁡x)dx=−cos⁡x−sin⁡x+C\int (\sin x - \cos x) dx = -\cos x - \sin x + C, deci [−cos⁡x−sin⁡x]π4π=(−cos⁡π−sin⁡π)−(−cos⁡π4−sin⁡π4)=(−(−1)−0)−(−22−22)=1−(−2)=1+2[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} = (-\cos \pi - \sin \pi) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = (-(-1) - 0) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - (-\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}. Suma: A=(2−1)+(1+2)=22A = (\sqrt{2} - 1) + (1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.