MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−y+2x \ast y = xy - x - y + 2. a) Arătați că legea ∗\ast este asociativă. b) Determinați elementul neutru al legii ∗\ast. c) Pentru fiecare x∈Mx \in M, determinați x′∈Mx' \in M astfel încât x∗x′=x′∗x=ex \ast x' = x' \ast x = e, unde ee este elementul neutru. d) Rezolvați în MM ecuația (x∗x)∗a=e(x \ast x) \ast a = e, unde a∈Ma \in M este un parametru real.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea asociativității. Se calculează (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2(x \ast y) \ast z = (xy - x - y + 2) \ast z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 și se simplifică la xyz−xy−xz−yz+x+y+zxyz - xy - xz - yz + x + y + z. Analog, x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2x \ast (y \ast z) = x \ast (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2, care se simplifică la același rezultat, deci legea este asociativă.
22 puncte
Găsirea elementului neutru. Fie ee elementul neutru, deci x∗e=xx \ast e = x pentru orice x∈Mx \in M. Rezultă xe−x−e+2=xxe - x - e + 2 = x, de unde e(x−1)=2(x−1)e(x-1) = 2(x-1). Cum x≠1x \neq 1, obținem e=2e = 2, care aparține lui MM.
32 puncte
Determinarea elementului invers. Pentru x∈Mx \in M, fie x′x' astfel încât x∗x′=2x \ast x' = 2. Rezultă xx′−x−x′+2=2xx' - x - x' + 2 = 2, deci x′(x−1)=xx'(x-1) = x. Cum x≠1x \neq 1, avem x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}, care aparține lui MM deoarece x≠1x \neq 1 și xx−1≠1\frac{x}{x-1} \neq 1.
43 puncte
Rezolvarea ecuației. Se calculează x∗x=x2−2x+2x \ast x = x^2 - 2x + 2. Atunci (x∗x)∗a=(x2−2x+2)∗a=(x2−2x+2)a−(x2−2x+2)−a+2=2(x \ast x) \ast a = (x^2 - 2x + 2) \ast a = (x^2 - 2x + 2)a - (x^2 - 2x + 2) - a + 2 = 2. Simplificând, se obține a(x2−2x+1)=x2−2x+2a(x^2 - 2x + 1) = x^2 - 2x + 2, adică a(x−1)2=(x−1)2+1a(x-1)^2 = (x-1)^2 + 1. Cum x≠1x \neq 1, împărțim prin (x−1)2(x-1)^2 și avem a=1+1(x−1)2a = 1 + \frac{1}{(x-1)^2}. Soluția este x∈Mx \in M cu x≠1x \neq 1, iar aa trebuie să fie real, dar din ecuație rezultă a>1a > 1 pentru ca 1(x−1)2>0\frac{1}{(x-1)^2} > 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.