MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul ABCABC, se cunosc lungimile laturilor: AB=5AB = 5, AC=7AC = 7, și BC=8BC = 8. Să se calculeze măsurile unghiurilor triunghiului și aria sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicăm teorema cosinusului pentru unghiul AA: cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC=52+72−822⋅5⋅7=25+49−6470=1070=17\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}. Deci A=arccos⁡17A = \arccos \frac{1}{7}. |
23 puncte
Folosim teorema cosinusului pentru unghiul BB: cos⁡B=AB2+BC2−AC22⋅AB⋅BC=52+82−722⋅5⋅8=25+64−4980=4080=12\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}. Deci B=π3B = \frac{\pi}{3} (60°). Atunci C=π−A−BC = \pi - A - B. |
33 puncte
Aria triunghiului se calculează cu formula S=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡AS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A. Din cos⁡A=17\cos A = \frac{1}{7}, avem sin⁡A=1−cos⁡2A=1−149=4849=437\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}. Deci S=12⋅5⋅7⋅437=12⋅5⋅43=103S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{3} = 10\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.