MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeGrupuri
Se consideră mulțimea A={x∈R∣x>0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și legea de compoziție ∘\circ definită prin x∘y=xyx \circ y = \sqrt{xy} pentru orice x,y∈Ax, y \in A. a) Verificați dacă legea este asociativă. b) Determinați dacă există element neutru. c) Studiați dacă fiecare element are simetric în raport cu această lege.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificăm asociativitatea calculând (x∘y)∘z(x \circ y) \circ z și x∘(y∘z)x \circ (y \circ z). Avem (x∘y)∘z=xy∘z=xy⋅z=zxy(x \circ y) \circ z = \sqrt{xy} \circ z = \sqrt{\sqrt{xy} \cdot z} = \sqrt{z \sqrt{xy}}. Pe de altă parte, x∘(y∘z)=x∘yz=x⋅yz=x2yzx \circ (y \circ z) = x \circ \sqrt{yz} = \sqrt{x \cdot \sqrt{yz}} = \sqrt{\sqrt{x^2 yz}}. Pentru a compara, considerăm un contraexemplu: fie x=1,y=1,z=4x=1, y=1, z=4. Atunci (1∘1)∘4=1⋅1∘4=1∘4=1⋅4=2(1 \circ 1) \circ 4 = \sqrt{1 \cdot 1} \circ 4 = 1 \circ 4 = \sqrt{1 \cdot 4} = 2, iar 1∘(1∘4)=1∘1⋅4=1∘2=1⋅2=21 \circ (1 \circ 4) = 1 \circ \sqrt{1 \cdot 4} = 1 \circ 2 = \sqrt{1 \cdot 2} = \sqrt{2}. Deoarece 2≠22 \neq \sqrt{2}, legea nu este asociativă.
23 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∘e=xx \circ e = x pentru orice xx. Din x∘e=xe=xx \circ e = \sqrt{xe} = x rezultă xe=x2xe = x^2, deci e=xe = x pentru x>0x > 0. Aceasta înseamnă că ee depinde de xx, deci nu există un element neutru constant care să satisfacă condiția pentru toate xx-urile. Similar, din e∘x=xe \circ x = x se obține același rezultat. Astfel, nu există element neutru.
33 puncte
Deoarece nu există element neutru, nu putem defini noțiunea de simetric pentru elementele mulțimii AA în raport cu legea ∘\circ. Prin urmare, niciun element nu are simetric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.