MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie a,b,ca, b, c trei numere reale pozitive care sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Dacă a+b+c=14a+b+c=14 și a2+b2+c2=84a^2+b^2+c^2=84, determinați aceste numere.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Notăm termenii progresiei geometrice: a,aq,aq2a, aq, aq^2 cu a>0a>0 și q>0q>0.
22 puncte
Scriem ecuațiile: a+aq+aq2=14a + aq + aq^2 = 14 și a2+a2q2+a2q4=84a^2 + a^2q^2 + a^2q^4 = 84.
32 puncte
Factorizăm: a(1+q+q2)=14a(1+q+q^2)=14 și a2(1+q2+q4)=84a^2(1+q^2+q^4)=84.
42 puncte
Observăm că 1+q2+q4=(1+q+q2)(1−q+q2)1+q^2+q^4 = (1+q+q^2)(1-q+q^2). Atunci ecuația a doua devine a2(1+q+q2)(1−q+q2)=84a^2(1+q+q^2)(1-q+q^2)=84.
52 puncte
Din prima ecuație, a(1+q+q2)=14a(1+q+q^2)=14, deci a2(1+q+q2)2=196a^2(1+q+q^2)^2=196. Împărțim: a2(1+q+q2)(1−q+q2)a2(1+q+q2)2=84196\frac{a^2(1+q+q^2)(1-q+q^2)}{a^2(1+q+q^2)^2} = \frac{84}{196}, deci 1−q+q21+q+q2=37\frac{1-q+q^2}{1+q+q^2} = \frac{3}{7}.
61 punct
Rezolvăm ecuația: 7(1−q+q2)=3(1+q+q2)7(1-q+q^2) = 3(1+q+q^2), de unde 4q2−10q+4=04q^2 -10q +4=0, adică 2q2−5q+2=02q^2-5q+2=0, cu soluțiile q=2q=2 și q=12q=\frac{1}{2}. Pentru q=2q=2, din a(1+q+q2)=14a(1+q+q^2)=14 obținem a=2a=2, deci numerele sunt 2,4,82,4,8. Pentru q=12q=\frac{1}{2}, obținem a=8a=8, deci numerele sunt 8,4,28,4,2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.