MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciPolinoame
Arătați că pentru orice matrice pătratică BB de ordinul 2, avem că B2−tr(B)⋅B+det⁡(B)⋅I2=O2B^2 - \text{tr}(B) \cdot B + \det(B) \cdot I_2 = O_2, unde tr(B)\text{tr}(B) este urma lui BB, I2I_2 este matricea identitate de ordinul 2, și O2O_2 este matricea nulă. Aplicați această relație pentru matricea C=(21−13)C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Fie B=(abcd)B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Calculați B2=(a2+bcab+bdac+cdbc+d2)B^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix}. Urma este tr(B)=a+d\text{tr}(B) = a + d, iar determinantul este det⁡(B)=ad−bc\det(B) = ad - bc. Verificați identitatea: B2−(a+d)B+(ad−bc)I2=(a2+bc−(a+d)a+(ad−bc)ab+bd−(a+d)b+0ac+cd−(a+d)c+0bc+d2−(a+d)d+(ad−bc))=(0000)=O2B^2 - (a+d)B + (ad-bc)I_2 = \begin{pmatrix} a^2+bc - (a+d)a + (ad-bc) & ab+bd - (a+d)b + 0 \\ ac+cd - (a+d)c + 0 & bc+d^2 - (a+d)d + (ad-bc) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2.
23 puncte
Pentru matricea C=(21−13)C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, calculați tr(C)=2+3=5\text{tr}(C) = 2 + 3 = 5 și det⁡(C)=2⋅3−1⋅(−1)=6+1=7\det(C) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) = 6 + 1 = 7.
33 puncte
Aplicați relația: calculați C2=(21−13)2=(4−12+3−2−3−1+9)=(35−58)C^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 4-1 & 2+3 \\ -2-3 & -1+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}. Apoi, 5C=(105−515)5C = \begin{pmatrix} 10 & 5 \\ -5 & 15 \end{pmatrix} și 7I2=(7007)7I_2 = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}. Verificați că C2−5C+7I2=(3−10+75−5+0−5+5+08−15+7)=(0000)=O2C^2 - 5C + 7I_2 = \begin{pmatrix} 3-10+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 8-15+7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.