MediuNumere ComplexeClasa 12

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeInele și corpuri
Considerați mulțimea A={a+bi∣a,b∈Q}A = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \} și operațiile uzuale de adunare și înmulțire a numerelor complexe. Demonstrați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Închidere: Pentru orice z1=a1+b1i,z2=a2+b2i∈Az_1 = a_1 + b_1i, z_2 = a_2 + b_2i \in A, avem z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)iz_1 + z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i și z1⋅z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)iz_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i, unde coeficienții rămân în Q\mathbb{Q} deoarece Q\mathbb{Q} este închis la adunare, scădere și înmulțire, deci z1+z2,z1⋅z2∈Az_1 + z_2, z_1 \cdot z_2 \in A. \n
23 puncte
Asociativitatea și comutativitatea adunării și înmulțirii se păstrează de la C\mathbb{C}, deoarece operațiile pe AA sunt restricții ale celor pe C\mathbb{C}. \n
32 puncte
Elemente neutre: 0=0+0i∈A0 = 0 + 0i \in A pentru adunare și 1=1+0i∈A1 = 1 + 0i \in A pentru înmulțire. \n
42 puncte
Invers față de adunare: pentru z=a+bi∈Az = a+bi \in A, opusul este −a−bi∈A-a - bi \in A. Invers față de înmulțire: pentru z≠0z \neq 0, z−1=aa2+b2−ba2+b2iz^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i, iar deoarece a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q} și a2+b2∈Q∖{0}a^2+b^2 \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}, rezultă că părțile reale și imaginare ale lui z−1z^{-1} sunt în Q\mathbb{Q}, deci z−1∈Az^{-1} \in A. \n
51 punct
Distributivitatea înmulțirii față de adunare este verificată din structura de corp a C\mathbb{C}, care se transferă la AA. Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.