MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie AnaliticăEcuații exponentiale
Se consideră numerele complexe z1=1+iz_1 = 1 + i și z2=3−iz_2 = \sqrt{3} - i. Determinați numerele complexe zz care verifică simultan condițiile: ∣z−z1∣=∣z−z2∣|z - z_1| = |z - z_2| și arg⁡(z−z1)=π3\arg(z - z_1) = \frac{\pi}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Primă condiție ∣z−z1∣=∣z−z2∣|z - z_1| = |z - z_2| reprezintă mediatoarea segmentului determinat de z1z_1 și z2z_2. Coordonatele punctelor: z1(1,1)z_1(1,1), z2(3,−1)z_2(\sqrt{3}, -1). Ecuația mediatoarei: y−0=1−(3)2(x−1+32)y - 0 = \frac{1 - (\sqrt{3})}{2}(x - \frac{1+\sqrt{3}}{2}), unde punctul mijlociu este M(1+32,0)M(\frac{1+\sqrt{3}}{2}, 0) și panta segmentului z1z2z_1z_2 este −1−13−1=−23−1\frac{-1-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{-2}{\sqrt{3}-1}.
23 puncte
A doua condiție arg⁡(z−z1)=π3\arg(z - z_1) = \frac{\pi}{3} înseamnă că punctul zz se află pe semidreapta cu originea în z1z_1 care formează un unghi de π3\frac{\pi}{3} cu axa reală pozitivă. Ecuația acestei semidrepte: y−1=3(x−1)y - 1 = \sqrt{3}(x - 1), cu x>1x > 1.
34 puncte
Intersecția dintre mediatoare și semidreaptă dă soluția. Rezolvând sistemul: {y−0=1−32(x−1+32)y−1=3(x−1)\begin{cases} y - 0 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \\ y - 1 = \sqrt{3}(x - 1) \end{cases}. Se obține x=2x = 2 și y=1+3y = 1 + \sqrt{3}, deci z=2+(1+3)iz = 2 + (1+\sqrt{3})i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.