MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(x12x+1)A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & x+1 \end{pmatrix}, unde x∈Rx \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui xx pentru care det⁡(A2−I2)=0\det(A^2 - I_2) = 0, cu I2I_2 matricea identitate de ordin 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculează A2=A⋅A=(x12x+1)⋅(x12x+1)=(x2+22x+14x+2x2+2x+3)A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & x+1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & x+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2+2 & 2x+1 \\ 4x+2 & x^2+2x+3 \end{pmatrix}.\n
22 puncte
Determină A2−I2=(x2+22x+14x+2x2+2x+3)−(1001)=(x2+12x+14x+2x2+2x+2)A^2 - I_2 = \begin{pmatrix} x^2+2 & 2x+1 \\ 4x+2 & x^2+2x+3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2+1 & 2x+1 \\ 4x+2 & x^2+2x+2 \end{pmatrix}.\n
33 puncte
Calculează det⁡(A2−I2)=(x2+1)(x2+2x+2)−(2x+1)(4x+2)=x4+2x3+3x2+2x+2−8x2−8x−2=x4+2x3−5x2−6x\det(A^2 - I_2) = (x^2+1)(x^2+2x+2) - (2x+1)(4x+2) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 2 - 8x^2 - 8x - 2 = x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 6x.\n
43 puncte
Rezolvă ecuația x4+2x3−5x2−6x=0x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 6x = 0. Factorizează: x(x3+2x2−5x−6)=0x(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) = 0, deci x=0x=0 sau x3+2x2−5x−6=0x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0. Găsește rădăcini: pentru x=−1x=-1, (−1)3+2(−1)2−5(−1)−6=0(-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = 0, deci x+1x+1 este factor. Împărțind, obținem (x+1)(x2+x−6)=0(x+1)(x^2 + x - 6)=0, adică (x+1)(x−2)(x+3)=0(x+1)(x-2)(x+3)=0. Astfel, soluțiile sunt x=0,x=−1,x=2,x=−3x=0, x=-1, x=2, x=-3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.