MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2−2x+1)f(x) = e^x (x^2 - 2x + 1). a) Calculați derivata funcției ff. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Arătați că funcția ff are un punct de minim local.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata: f′(x)=ddx[ex(x2−2x+1)]=ex(x2−2x+1)+ex(2x−2)=ex(x2−1)f'(x) = \frac{d}{dx}[e^x (x^2 - 2x + 1)] = e^x (x^2 - 2x + 1) + e^x (2x - 2) = e^x (x^2 - 1).
23 puncte
Găsim punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x) = 0: ex(x2−1)=0⇒x2−1=0⇒x=−1e^x (x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = -1 sau x=1x = 1.
32 puncte
Studiem semnul derivatei: pentru x<−1x < -1, x2−1>0x^2 - 1 > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0; pentru −1<x<1-1 < x < 1, x2−1<0x^2 - 1 < 0, deci f′(x)<0f'(x) < 0; pentru x>1x > 1, x2−1>0x^2 - 1 > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0. Astfel, ff este crescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1], descrescătoare pe [−1,1][-1, 1], crescătoare pe [1,∞)[1, \infty).
42 puncte
În x=1x = 1, derivata schimbă semnul din negativ în pozitiv, deci x=1x=1 este punct de minim local pentru ff.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.