MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația z4−2z2+2=0z^4 - 2z^2 + 2 = 0 și arătați că rădăcinile sunt vârfurile unui pătrat în planul complex.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Facem substituția t=z2t = z^2, obținând ecuația t2−2t+2=0t^2 - 2t + 2 = 0. Rezolvăm: t=2±4−82=2±2i2=1±it = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i.
23 puncte
Pentru t=1+it = 1 + i, scriem în formă trigonometrică: 1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)1 + i = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}). Atunci z=±24(cos⁡π8+isin⁡π8)z = \pm \sqrt[4]{2}(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}) și z=±24(cos⁡9π8+isin⁡9π8)z = \pm \sqrt[4]{2}(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8}). Similar, pentru t=1−i=2(cos⁡7π4+isin⁡7π4)t = 1 - i = \sqrt{2}(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}), obținem z=±24(cos⁡7π8+isin⁡7π8)z = \pm \sqrt[4]{2}(\cos\frac{7\pi}{8} + i\sin\frac{7\pi}{8}) și z=±24(cos⁡15π8+isin⁡15π8)z = \pm \sqrt[4]{2}(\cos\frac{15\pi}{8} + i\sin\frac{15\pi}{8}). Cele patru rădăcini sunt z1,z2,z3,z4z_1, z_2, z_3, z_4.
32 puncte
Reprezentăm rădăcinile în planul complex. Toate au același modul 24\sqrt[4]{2}, deci sunt pe un cerc. Unghiurile sunt π8,7π8,9π8,15π8\frac{\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{15\pi}{8}, care diferă prin π2\frac{\pi}{2} (de exemplu, 7π8−π8=6π8=3π4\frac{7\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{6\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}, dar verificăm perechile: π8\frac{\pi}{8} și 9π8\frac{9\pi}{8} sunt opuse, iar 7π8\frac{7\pi}{8} și 15π8\frac{15\pi}{8} sunt opuse).
42 puncte
Calculăm distanțele între rădăcini consecutive. Folosind formula distanței între două puncte complexe, se arată că toate laturile au lungimea 2⋅24\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} și unghiurile sunt drepte, deci formează un pătrat. Suma punctelor: 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.