MediuDerivateClasa 12

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Calculați derivata funcției ff. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=ex = e. c) Arătați că funcția ff este convexă pe intervalul (0,∞)(0, \infty). d) Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției ff, axa Ox și dreptele x=1x = 1 și x=ex = e.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1, folosind regula produsului și derivata lui ln⁡x\ln x.
22 puncte
Ecuația tangentei în x=ex=e: f(e)=eln⁡e=ef(e) = e \ln e = e, f′(e)=ln⁡e+1=2f'(e) = \ln e + 1 = 2. Ecuația tangentei: y−e=2(x−e)y - e = 2(x - e), adică y=2x−ey = 2x - e.
32 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x} pentru x>0x>0. Deoarece f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (0,∞)(0, \infty), funcția ff este convexă pe acest interval.
44 puncte
Aria = ∫1e∣f(x)∣dx\int_1^e |f(x)| dx. Pe [1,e][1,e], ln⁡x≥0\ln x \ge 0, deci f(x)≥0f(x) \ge 0 și aria = ∫1exln⁡xdx\int_1^e x \ln x dx. Se integrează prin părți: alegem u=ln⁡xu = \ln x, dv=xdxdv = x dx, atunci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=x22v = \frac{x^2}{2}. Obținem ∫xln⁡xdx=x22ln⁡x−∫x22⋅1xdx=x22ln⁡x−12∫xdx=x22ln⁡x−x24+C\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C. Evaluând de la 1 la e: (e22ln⁡e−e24)−(12ln⁡1−14)=e22−e24+14=e2+14\left( \frac{e^2}{2} \ln e - \frac{e^2}{4} \right) - \left( \frac{1}{2} \ln 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.