MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieVectoriIdentități algebrice
Fie vectorii u⃗=cos⁡x i⃗+sin⁡x j⃗\vec{u} = \cos x \, \vec{i} + \sin x \, \vec{j} și v⃗=cos⁡y i⃗+sin⁡y j⃗\vec{v} = \cos y \, \vec{i} + \sin y \, \vec{j}. Calculați produsul scalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} și demonstrați că este egal cu cos⁡(x−y)\cos(x-y). Apoi, determinați xx și yy astfel încât u⃗⋅v⃗=12\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} și ∣u⃗+v⃗∣=3|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{3} pentru x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați produsul scalar: u⃗⋅v⃗=(cos⁡x)(cos⁡y)+(sin⁡x)(sin⁡y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=cos⁡(x−y)\vec{u} \cdot \vec{v} = (\cos x)(\cos y) + (\sin x)(\sin y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \cos(x-y), folosind identitatea trigonometrică pentru cosinusul diferenței.
23 puncte
Din condiția u⃗⋅v⃗=12\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}, obțineți cos⁡(x−y)=12\cos(x-y) = \frac{1}{2}. Rezolvați: x−y=π3+2kπx-y = \frac{\pi}{3} + 2k\pi sau x−y=−π3+2kπx-y = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, cu k∈Zk \in \mathbb{Z}.
34 puncte
Calculați ∣u⃗+v⃗∣2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2+2u⃗⋅v⃗=(cos⁡2x+sin⁡2x)+(cos⁡2y+sin⁡2y)+2cos⁡(x−y)=1+1+2cos⁡(x−y)=2+2cos⁡(x−y)|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} = (\cos^2 x + \sin^2 x) + (\cos^2 y + \sin^2 y) + 2\cos(x-y) = 1 + 1 + 2\cos(x-y) = 2 + 2\cos(x-y). Condiția ∣u⃗+v⃗∣=3|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{3} dă 2+2cos⁡(x−y)=3⇒cos⁡(x−y)=122 + 2\cos(x-y) = 3 \Rightarrow \cos(x-y) = \frac{1}{2}, consistent cu pasul 2. Apoi, din x−y=π3x-y = \frac{\pi}{3} sau x−y=−π3x-y = -\frac{\pi}{3} și x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi), găsiți perechile de soluții, de exemplu: pentru x−y=π3x-y = \frac{\pi}{3}, x=π3+yx = \frac{\pi}{3} + y, cu y∈[0,2π)y \in [0, 2\pi) astfel încât x∈[0,2π)x \in [0, 2\pi), deci y∈[0,5π3)y \in [0, \frac{5\pi}{3}), și similar pentru celălalt caz.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.