MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteFuncția de gradul IArii și volume
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația ∫0x(2t−1)dt=3\int_{0}^{x} (2t - 1) dt = 3. Apoi, pentru soluția pozitivă, calculați aria regiunii mărginite de graficul funcției h(t)=2t−1h(t) = 2t-1, axa Ot și dreptele t=0t=0 și t=xt=x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm integrala: ∫0x(2t−1)dt=[t2−t]0x=x2−x\int_{0}^{x} (2t-1) dt = \left[ t^2 - t \right]_{0}^{x} = x^2 - x. Ecuația devine x2−x=3x^2 - x = 3, adică x2−x−3=0x^2 - x - 3 = 0.
23 puncte
Rezolvăm ecuația: x=1±1+122=1±132x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}. Soluțiile sunt x1=1−132x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} și x2=1+132x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}. Soluția pozitivă este x2=1+132x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}.
34 puncte
Pentru calculul ariei, observăm că funcția h(t)=2t−1h(t) = 2t-1 se anulează în t=12t = \frac{1}{2}. Pe intervalul [0,12][0, \frac{1}{2}], h(t)≤0h(t) \leq 0, iar pe [12,x2][\frac{1}{2}, x_2], h(t)≥0h(t) \geq 0 (deoarece x2>12x_2 > \frac{1}{2}). Aria este suma ariilor de sub grafic pe fiecare subinterval, luate în valoare absolută: A=∫012∣2t−1∣dt+∫12x2∣2t−1∣dt=∫012−(2t−1)dt+∫12x2(2t−1)dtA = \int_{0}^{\frac{1}{2}} |2t-1| dt + \int_{\frac{1}{2}}^{x_2} |2t-1| dt = \int_{0}^{\frac{1}{2}} -(2t-1) dt + \int_{\frac{1}{2}}^{x_2} (2t-1) dt. Calculăm: ∫012−(2t−1)dt=∫012(1−2t)dt=[t−t2]012=(12−14)−0=14\int_{0}^{\frac{1}{2}} -(2t-1) dt = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1-2t) dt = \left[ t - t^2 \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - 0 = \frac{1}{4}. ∫12x2(2t−1)dt=[t2−t]12x2=(x22−x2)−((12)2−12)=(3)−(14−12)=3−(−14)=3+14=134\int_{\frac{1}{2}}^{x_2} (2t-1) dt = \left[ t^2 - t \right]_{\frac{1}{2}}^{x_2} = (x_2^2 - x_2) - \left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{2} \right) = (3) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = 3 - \left( -\frac{1}{4} \right) = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}. Aria totală este A=14+134=144=72A = \frac{1}{4} + \frac{13}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.