MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡3(x−1)+log⁡9(x+1)=log⁡3(2x−1)\log_3(x-1) + \log_9(x+1) = \log_3(2x-1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea condițiilor de existență: x−1>0x-1 > 0, x+1>0x+1 > 0, 2x−1>02x-1 > 0, deci x>1x > 1.
23 puncte
Schimbarea bazei: log⁡9(x+1)=log⁡3(x+1)log⁡3(9)=log⁡3(x+1)2\log_9(x+1) = \frac{\log_3(x+1)}{\log_3(9)} = \frac{\log_3(x+1)}{2}. Ecuația devine: log⁡3(x−1)+12log⁡3(x+1)=log⁡3(2x−1)\log_3(x-1) + \frac{1}{2} \log_3(x+1) = \log_3(2x-1).
33 puncte
Aplicarea proprietăților: log⁡3(x−1)+log⁡3((x+1)1/2)=log⁡3(2x−1)\log_3(x-1) + \log_3((x+1)^{1/2}) = \log_3(2x-1), deci log⁡3((x−1)x+1)=log⁡3(2x−1)\log_3((x-1)\sqrt{x+1}) = \log_3(2x-1). Atunci (x−1)x+1=2x−1(x-1)\sqrt{x+1} = 2x-1.
42 puncte
Rezolvarea ecuației: (x−1)x+1=2x−1(x-1)\sqrt{x+1} = 2x-1. Ridicând la pătrat: (x−1)2(x+1)=(2x−1)2(x-1)^2 (x+1) = (2x-1)^2. Dezvoltând: (x2−2x+1)(x+1)=4x2−4x+1⇒x3−x2−x+1=4x2−4x+1⇒x3−5x2+3x=0⇒x(x2−5x+3)=0(x^2 - 2x +1)(x+1) = 4x^2 - 4x +1 \Rightarrow x^3 - x^2 - x + 1 = 4x^2 - 4x +1 \Rightarrow x^3 -5x^2 +3x =0 \Rightarrow x(x^2 -5x+3)=0. Soluțiile sunt x=0x=0, x=5±132x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}. Din condiția x>1x>1, se acceptă doar x=5+132x = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}. Verificând în ecuația originală, această valoare o satisface.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.